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Die Philosophie der Mathematik ist die philosophische Untersuchung der Konzepte und Methoden der Mathematik. Sie befasst sich mit der Natur von Zahlen, geometrischen Objekten und anderen mathematischen Konzepten, mit ihren kognitiven Ursprüngen und ihrer Anwendung auf die Realität. Sie befasst sich mit der Validierung von Methoden des mathematischen Schlussfolgerns. Sie befasst sich insbesondere mit den logischen Problemen im Zusammenhang mit der mathematischen Unendlichkeit.
Unter den Wissenschaften hat die Mathematik eine einzigartige Beziehung zur Philosophie. Seit der Antike haben die Philosophen die Mathematik wegen der Klarheit ihrer Begriffe und der Gewissheit ihrer Schlussfolgerungen als Modell logischer Vollkommenheit beneidet und daher viel Mühe darauf verwandt, das Wesen der Mathematik zu erklären.
In diesem Studienführer werden Quellen empfohlen, die eine Einführung in die wichtigsten Themen der Philosophie der Mathematik und die historisch wichtigen Ansichten zu diesen Themen bieten. Eine gewisse Vertrautheit mit der Mathematik ist eine Voraussetzung, um über diese Themen nachzudenken. Das Buch What is Mathematics? von Richard Courant und Herbert Robbins ist eine brillante Darstellung der Themen und Methoden der modernen Mathematik. Das Buch ist für Laien gedacht, aber nichts von der Essenz der Mathematik wurde ausgelassen; es ist kein einfaches Buch, aber es ist lohnend.
Die meisten Philosophen haben ihre Ansichten über Mathematik in Werken zu allgemeineren Themen dargelegt. Der Sammelband Philosophy and Mathematics von Robert Baum enthält Beiträge zur Mathematik von den meisten großen westlichen Philosophen, von Platon bis Mill. Die Auswahl enthält genügend Material, um einen Kontext für die Ansichten jedes Philosophen zur Mathematik zu schaffen, und Baums einführende Essays zeichnen die philosophischen Einflüsse auf jeden Denker nach.
Die einflussreichsten Ansichten waren die von Platon und Kant, und Baum hat zu jedem von ihnen einen Abschnitt. Interessierte Objektivisten können Baums Abschnitt über Aristoteles durch einen Blick in Thomas Heaths Buch " Mathematics in Aristotle" ergänzen. Baums Buch enthält auch einige moderne Aufsätze, von denen Max Blacks "The Elusiveness of Sets", eine Kritik an der Erkenntnistheorie der Mengenlehre, lesenswert ist.
Newtons Theorie der Mechanik und seine Erfindung der Integral- und Differentialrechnung zu ihrer Unterstützung gehören zu den größten Errungenschaften der Geschichte. Die zentrale Idee des Grenzwerts ist logisch subtil (diese Subtilität macht Zenos Achilles-Paradoxon so verwirrend), und Newton versäumte es, Grenzwerte rigoros zu behandeln. Seine Kritiker - vor allem Berkeley - machten viel von diesem Fehler. Cauchy, Weierstraß und andere Mathematiker des 19. Jahrhunderts entwickelten eine strenge Theorie der Grenzen, die eine unanfechtbare Grundlage für Newtons Theorie bildete und einen Eckpfeiler der modernen mathematischen Analyse darstellt. Diese erkenntnistheoretische Erfolgsgeschichte wird in Carl Boyers The History of the Calculus and Its Conceptual Development gut erzählt .
Ein weiteres logisches Juwel, das ein zentrales Merkmal der modernen mathematischen Analyse ist, ist die Idee eines wohlgestellten Problems, die von dem Mathematiker Jacques Hadamard eingeführt wurde. Wenn ein neues mathematisches Problem vorgeschlagen wird, besteht die erste Aufgabe der Mathematiker darin, festzustellen, dass das Problem eine Lösung hat, dass es nur eine Lösung gibt und dass die Lösung in angemessener Weise von den Daten abhängt (z. B. wenn die Gleichung die Spannung mit der Beleuchtung in einer Glühbirne in Beziehung setzt, sollte eine winzige Erhöhung der Spannung nur zu einer geringen Erhöhung der Beleuchtung führen).
Ein Problem, das diese Eigenschaften aufweist, wird als "wohlgestellt" bezeichnet. Wenn Mathematiker feststellen, dass ein mathematisches Problem gut gestellt ist, stellen sie sicher, dass es eine vernünftige Frage ist, bevor sie versuchen, sie zu beantworten. Forscher in vielen anderen Bereichen wären gut beraten, solche sorgfältigen erkenntnistheoretischen Gewohnheiten anzunehmen. Leider gibt es keine philosophische Einführung in dieses Thema.
Die gängige Meinung ist, dass die Mathematik eine Reihe von logischen oder erkenntnistheoretischen Krisen durchlaufen hat, die ihr schweren Schaden zugefügt haben. Eine Geschichte dieser "Krisen" (z. B. die Erfindung der nichteuklidischen Geometrie und die Entdeckung der mengentheoretischen Paradoxien) sowie eine gründliche Übersicht über die Probleme der modernen mathematischen Philosophie finden Sie in Morris Kline's Mathematics: Der Verlust der Gewissheit. Kline war Mathematiker; dieses Buch spiegelt genau die Art von Haltung wider, die man bei den Praktikern antrifft, und es ist gut mit einschlägiger Mathematik dokumentiert.
Um festzustellen, ob die Grundlagen eines Faches fehlerhaft sind, muss man zunächst die grundlegendere erkenntnistheoretische Frage beantworten, was eine angemessene Grundlage ist. Die objektivistische Position, dass alles Wissen in der Wahrnehmung begründet sein und begrifflich erfasst und organisiert werden muss, hat in der historischen Entwicklung der Philosophie der Mathematik praktisch keine Rolle gespielt. Die primäre Aufgabe eines objektivistischen Ansatzes besteht darin, die Mathematik objektiv zu begründen. Eine wichtige sekundäre Aufgabe besteht darin, zu erklären, wie andere erkenntnistheoretische Voraussetzungen zu dem Gefühl der Krise und des Zweifels geführt haben, das das Fachgebiet kennzeichnet.
Stephan Korners The Philosophy of Mathematics, an Introductory Essay (Die Philosophie der Mathematik, ein einführender Essay) ist historisch und mathematisch weniger detailliert als Klines Werk, aber philosophisch anspruchsvoller. Korner widmet jeweils zwei Kapitel - ein erläuterndes und ein kritisches - jeder der drei großen modernen Denkschulen der mathematischen Philosophie: den Formalisten, den Logikern und den Intuitionisten. Korners Darstellung ist klar, prägnant und unvoreingenommen.
Die Schule der Logiker, deren zentrale Figuren Bertrand Russell und Gottlob Frege sind, hatte das Ziel, "die Mathematik auf die Logik zu reduzieren". Russells Einführung in die mathematische Philosophie ist eine nichttechnische Einführung in das Programm der Logiker. Die logikistische Konzeption der Logik unterscheidet sich radikal von der objektivistischen oder, allgemeiner, der aristotelischen Konzeption der Logik; und es ist eine Sichtweise der Logik, die in der meisten modernen mathematischen Philosophie vorausgesetzt wird. Russells Einführung ist eine außergewöhnlich klare Darstellung dieser Auffassung von Logik und ihrer Anwendung auf die Mathematik. Sie ist ein wertvoller Leitfaden für die Prämissen, die ein objektiver Ansatz für die Grundlagen der Mathematik in Frage stellen muss.
Die Werke von Henry Veatch, insbesondere Intentional Logic, kritisieren Russells Konzeption der Logik aus einer aristotelischen Perspektive. Veatch argumentiert von einem Grundsatz aus, mit dem der Objektivismus übereinstimmt - dass das Bewusstsein intentional ist, dass es immer von oder über eine Welt ist, die unabhängig vom Bewusstsein existiert und eine Identität hat.
Die formalistische Schule wurde von dem Mathematiker David Hilbert gegründet. Die Formalisten versuchen, die Mathematik als streng formale logische Systeme auszudrücken und sie als solche zu untersuchen, ohne sich um ihre Bedeutung zu kümmern. (Dies steht im Gegensatz zu den Logikern, die versuchen, die Bedeutung mathematischer Begriffe zu ermitteln, indem sie sie mit Hilfe von Begriffen der Logik definieren.) Ihr Hauptanliegen war es, die von Georg Cantor im späten 19. Jahrhundert entwickelte Mathematik der unendlichen Mengen zu rechtfertigen. Die Formalisten hofften, die Mathematik der unendlichen Mengen in einem solchen System ausdrücken und die Konsistenz dieses Systems mit endlichen Methoden nachweisen zu können. Wenn ihnen dies gelänge, so dachten sie, würden sie die Verwendung unendlicher Mengen rechtfertigen, ohne sich mit der heiklen Frage auseinandersetzen zu müssen, was solche Mengen eigentlich sind.
Der formalistische Ansatz wird in Godel's Proof von Ernest Nagel und James Newman erläutert und illustriert. Dieses kurze Buch ist ein Meisterwerk darin, anspruchsvolles Material für Nicht-Experten zugänglich zu machen. Das Buch beginnt mit einer Darstellung des Formalismus und schließt mit einem sehr lesenswerten Abriss des Beweises des Unvollständigkeitssatzes von Kurt Godel. Dieses Theorem zeigte den Formalisten, dass ihr Programm unhaltbar war.
Die Intuitionisten, deren Anführer der Mathematiker L.E.J. Brouwer war, sind vor allem für ihren Konservatismus in Bezug auf mathematische Unendlichkeiten bekannt. Sie wenden sich gegen die Anwendung des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte auf Aussagen, die mathematische Unendlichkeiten betreffen, wie z. B. bei einem Beweis der folgenden Form: Entweder gibt es eine Zahl mit der Eigenschaft P oder nicht; wenn nicht, folgt eine Konsequenz, von der man weiß, dass sie falsch ist; daher gibt es eine Zahl mit der Eigenschaft P. Solche Beweise sagen uns nicht, was die betreffende Zahl ist oder warum sie die Eigenschaft hat. Konstruktive Beweise hingegen liefern diese Informationen, und Intuitionisten fordern konstruktive Beweise für mathematische Theoreme.
Die Intuitionisten finden ihre philosophischen Wurzeln bei Kant. Doch ihre Vorsicht gegenüber dem Unendlichen sollte Objektivisten ansprechen. Ihre Position zum Gesetz der ausgeschlossenen Mitte kann als Forderung interpretiert werden, dass eine Aussage als sinnvoll erkannt werden muss, bevor die Gesetze der Logik auf sie angewendet werden, eine Forderung, die der Objektivismus sicherlich unterstützt. Ihr Beharren auf konstruktiven Beweisen kann als ein Mittel gesehen werden, um zu spezifizieren, was mit der Existenz einer Zahl gemeint ist.
Leider sind sich die Intuitionisten nicht immer über die Bedeutung und die philosophischen Grundlagen ihrer Positionen im Klaren; sie kümmern sich um mathematische Details auf Kosten der philosophischen Darlegung. Es gibt keine Einleitung wie die von Russell oder Nagel und Newman. In der von Paul Benacerraf und Hilary Putnam herausgegebenen Sammlung Philosophy of Mathematics, Selected Readings, finden sich mehrere Beiträge von Intuitionisten - Brouwer, Heyting und Dummett. Die Einleitung zu diesem Band enthält auch eine klare Diskussion der intuitionistischen Prinzipien.
Ein angemessenes Verständnis der Abstraktion ist eine Voraussetzung für die Erklärung mathematischer Begriffe. Historische Theorien über mathematische Begriffe haben dazu tendiert, die schlimmsten Aspekte historischer Theorien über Universalien zu verkörpern; platonischer Realismus, kantischer Idealismus und extremer Nominalismus dominieren das Thema.
Ayn Rands Identifizierung der Natur der Universalien und ihre Analyse des Abstraktionsprozesses haben viel zur Philosophie der Mathematik beizutragen. Es gibt jedoch keine objektivistische Literatur zu diesem Thema. Ein Hinweis auf eine objektivistische Herangehensweise an das Thema findet sich in dem Aufsatz "The Cognitive Basis of Arithmetic" von David Ross. Kommentare von Ayn Rand zu verschiedenen mathematischen Themen sind im Anhang der 1990 erschienenen Ausgabe von Introduction to Objectivist Epistemology enthalten.
Der Objektivismus erkennt eine tiefere Verbindung zwischen Mathematik und Philosophie an, als sich die Vertreter anderer Philosophien vorstellen können. Nach der Theorie von Ayn Rand beinhaltet der Prozess der Begriffsbildung das Erfassen quantitativer Beziehungen zwischen Einheiten und das Weglassen ihrer spezifischen Maße. Damit rückt sie die Mathematik als entscheidendes Element des Abstraktionsprozesses in den Mittelpunkt des menschlichen Wissens. Dies ist eine radikale, neue Sichtweise der Rolle der Mathematik in der Philosophie. Wie Leonard Peikoff es in Objektivismus formuliert hat : Die Philosophie von Ayn Rand:
Ein Bereich, mit dem sich eine objektivistische Philosophie der Mathematik befassen muss, ist also die Bedeutung und Struktur der Messung in der Messungsauslassungstheorie; dieser Teilbereich der Philosophie der Mathematik könnte als Mathematik der Philosophie bezeichnet werden. Für die objektivistische Sichtweise siehe Rands Diskussionen in Introduction to Objectivist Epistemology, Peikoff's Objectivism: The Philosophy of Ayn Rand, und David Kelleys "A Theory of Abstraction".
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